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巧算与速算

⚡🧮 巧算与速算

不硬算，找规律，让计算变简单

📖什么是巧算？

巧算就是不硬算，而是观察数字的特点，找到规律，用巧妙的方法快速得出答案。

比如 1+2+3+…+100，硬加要算很久。但高斯发现：1+100=101，2+99=101，…，共 50 对，答案就是 101×50=5050！

🗺️学习路线

速查
方法汇总
好朋友数、核心公式、三种方法一览
3年级
高斯求和法
等差数列首尾配对，一秒算出总和
3年级
乘法分配律巧算
拆数凑整，把复杂乘法变简单
4年级
基准数法
找"整数朋友"帮忙，加减法秒算
练习
变式练习
混合运用三种巧算方法

📋 方法汇总 · 巧算速查表

好朋友数 + 特殊规律 + 核心公式 + 方法大全 + 速查技巧，全量汇总

🤝好朋友数（凑整搭档）

看到这些数字组合，第一时间想到"凑整"，计算速度翻倍！

加法凑十（和 = 10）
1 + 9
= 10
2 + 8
= 10
3 + 7
= 10
4 + 6
= 10
5 + 5
= 10
乘法凑整 · 得 10（2 × 5 家族）
2 × 5
= 10
20 × 5
= 100
200 × 5
= 1000
50 × 2
= 100
500 × 2
= 1000
2000 × 5
= 10000
乘法凑整 · 得 100（4 × 25 家族）
4 × 25
= 100
40 × 25
= 1000
400 × 25
= 10000
250 × 4
= 1000
2500 × 4
= 10000
乘法凑整 · 得 1000（8 × 125 家族）
8 × 125
= 1000
80 × 125
= 10000
800 × 125
= 100000
1250 × 8
= 10000
特殊规律数
37 × 3 = 111
37 × 6 = 222   37 × 9 = 333
37 × 12 = 444   37 × 15 = 555
37 × 18 = 666   37 × 21 = 777
37 × 24 = 888   37 × 27 = 999
规律：37 × (3的倍数) = 三位重复数
99 × n = 100n − n
99 × 2 = 198   99 × 3 = 297
99 × 7 = 693   99 × 13 = 1287
99 × 23 = 2277   99 × 46 = 4554
999 × n = 1000n − n（同理）
999 × 3 = 2997   999 × 7 = 6993
11 × ab = a(a+b)b
11 × 12 = 132   11 × 23 = 253
11 × 36 = 396   11 × 45 = 495
11 × 72 = 792   11 × 81 = 891
口诀：两头拉开，中间相加
（满十进一：11×89=979）
15 × 偶数
15 × 2 = 30   15 × 4 = 60
15 × 6 = 90   15 × 8 = 120
15 × 12 = 180   15 × 16 = 240
口诀：偶数除以 2，再乘以 3，后面加 0
例：15×8 → 8÷2=4 → 4×3=12 → 120
101 × ab = abab
101 × 12 = 1212   101 × 35 = 3535
101 × 68 = 6868   101 × 99 = 9999
1001 × abc = abcabc
1001 × 123 = 123123
25 × 奇数
25 × 1 = 25   25 × 3 = 75
25 × 7 = 175   25 × 9 = 225
25 × 11 = 275   25 × 13 = 325
规律：末两位只有 25 或 75
奇数÷4 的余数决定末两位

📐核心公式

三个公式，覆盖所有巧算场景，背熟就能秒题。

总和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2
高斯求和 · 等差数列专用
例：1+2+…+100 = (1+100)×100÷2 = 5050
a × (b + c) = a×b + a×c
乘法分配律 · 拆数凑整
例：25×44 = 25×4×11 = 100×11 = 1100
先凑整，再调整
基准数法 · 多加了减回来，少加了补上去
例：198+303 = (200−2)+(300+3) = 501

🔑巧算方法大全

八种方法，从基础到进阶，逐步掌握。

方法一：高斯求和法
等差数列首尾配对，每对和相等。例：1+2+…+100 → (1+100)×50 = 5050
口诀：首尾配对和相等，乘以对数除以 2
方法二：乘法分配律巧算
拆数凑整，利用好朋友数。例：25×44 = 25×4×11 = 100×11 = 1100
口诀：25 找 4，125 找 8，拆开后分别乘再加
方法三：基准数法
找接近的整百整十数，先凑整再调整。例：198+303 = (200-2)+(300+3) = 501
口诀：多加了减回来，少加了补上去
方法四：凑整法（加法交换律+结合律）
把能凑整的数先加。例：36+87+64 = (36+64)+87 = 100+87 = 187
口诀：看到能凑整的，先搬过来加
方法五：提取公因数（逆用分配律）
有相同因数就提取出来。例：99×46+46 = (99+1)×46 = 100×46 = 4600
口诀：相同因数提出来，剩下的加完再乘
方法六：特殊数巧算
利用特殊数字规律。例：37×3=111，99×23=2277，101×35=3535
口诀：37 乘 3 得 111，99 乘 n 减 n 就行，101 乘 ab 变 abab
方法七：拆数法（乘法结合律）
把一个数拆成两个因数，分别去乘。例：125×32 = 125×8×4 = 1000×4 = 4000
口诀：看到 125 拆出 8，看到 25 拆出 4
方法八：分组法（连续数巧算）
相邻数分组抵消或凑整。例：100−99+98−97+…+2−1 = (100−99)+(98−97)+… = 1×50 = 50
口诀：一加一减看分组，每组结果都一样

⚡常用技巧速查

八个实用小技巧，考试时能快速提分。

连续数求和
(首+末)×项数÷2
例：1+2+…+50 = 51×25 = 1275
乘 11 速算
两头拉开，中间相加
例：11×36 = 3(3+6)6 = 396
11×89 = 8(8+9)9 = 979（进位）
乘 99 / 999
= 乘 100(1000) 再减自身
例：99×23 = 2300−23 = 2277
999×45 = 45000−45 = 44955
山峰数规律
12321, 1234321…
11111×11111 = 123454321
1111×1111 = 1234321
椅子数规律
全1数自乘 = 山峰数
1×1=1, 11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
重叠数规律
abab = ab × 101
1212=12×101, 3535=35×101
abcabc = abc × 1001
123123 = 123×1001
乘 5 速算
×10 再 2
例：48×5 = 480÷2 = 240
36×5 = 360÷2 = 180
除以 5 速算
×2 再 ÷10
例：240÷5 = 480÷10 = 48
130÷5 = 260÷10 = 26

🔢 方法一：高斯求和法

适合 3 年级 · 首尾配对

📝 题目：1 + 2 + 3 + … + 100 = ？

💡思路

把第一个数和最后一个数配对：1+100=101，2+99=101，3+98=101……每一对的和都一样！拖动滑块看看配对过程。

👆 看看前 N 对配对1
总和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2
即 (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050
🔑 高斯求和口诀：首尾配对和相等，乘以对数除以 2。等差数列都能用，记住公式秒杀题。

✖️ 方法二：乘法分配律巧算

适合 3 年级 · 拆数凑整

📝 题目：25 × 44 = ？

💡思路

25 的好朋友是 4（25×4=100）。把 44 拆成 4×11，先算 25×4=100，再乘 11，秒得 1100！

观察：25 的好朋友是 4（因为 25×4 = 100）
拆数：44 = 4 × 11
巧算：
25 × 44 = 25 × 4 × 11
= 100 × 11
= 1100
验证：25 × 44 = 25 × 40 + 25 × 4 = 1000 + 100 = 1100 ✓
a × (b + c) = a×b + a×c
分配律：拆开后分别乘，再加起来
🔑 常用好朋友：25×4=100，125×8=1000，5×2=10。看到这些数字组合，第一时间想到凑整！

🎯 方法三：基准数法

适合 4 年级 · 找整数朋友

📝 题目：198 + 303 = ？

💡思路

198 接近 200（多 2），303 接近 300（多 3）。先算 200+300=500，再调整多出来和少的部分。

找基准：198 ≈ 200（多了 2）；303 ≈ 300（多了 3）
巧算：
198 + 303 = (200 - 2) + (300 + 3)
= 200 + 300 - 2 + 3
= 500 + 1
= 501
验证：198 + 303 = 501 ✓ （硬算也是 501，但凑整更快！）
先凑整，再调整
多加了要减回来，少加了要补上去
🔑 基准数法口诀：看到接近整百整十的数，先凑整再调整。多加了减回来，少加了补上去。

🎯 变式练习

三种巧算方法，看你能不能一眼看出来

第 1 题 / 共 5 题

🏆 学习报告

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📝答题回顾

🗣️ 用自己的话说一说

  • 高斯求和法的关键是什么？为什么要"首尾配对"？
  • 25 × 44 这道题，你怎么拆数最快？用了哪个"好朋友"？
  • 基准数法里，"多加了要减回来"是什么意思？能举个例子吗？
  • 三种巧算方法，你觉得哪种最实用？为什么？
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