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分数应用题进阶

量率对应 · 统一单位"1" · 小升初必考

📐核心概念:量率对应

分数应用题的关键是建立 数量分率 的对应关系。

单位"1" × 分率 = 对应数量
知道两个就能求第三个!

🗺️ 本课知识地图

找单位"1"
"是/占/比"后面
量率对应
数量÷分率=单位1
复杂分数问题
多单位1转换

解题三步法

遇到分数题,先别急着算

第 1 步 · 找单位"1":"是""占""比""相当于"后面的量就是单位"1"。
例:"男生占全班的 3/5"→ 全班是单位"1"。
第 2 步 · 画线段图:把单位"1"画成一条线段,标出已知分率和数量。
第 3 步 · 列关系式:单位"1" × 分率 = 数量 ; 数量 ÷ 分率 = 单位"1"。注意用统一单位"1"

⚠️ 常见陷阱

陷阱 1:"增加了 1/3" ≠ "是原来的 1/3"。增加了 1/3 表示现在是原来的 4/3
陷阱 2:单位"1"变了!"第一天看了全书的 1/4,第二天看了剩下的 1/3"——第二天的单位"1"不是全书。

方法一:基本量率对应

一袋大米吃了 3/8,还剩 25 千克,原有多少?

第 1 步 · 找单位"1":"吃了 3/8" → 一袋大米是单位"1"。
第 2 步 · 画图理解:单位"1"分 8 份,吃了 3 份 → 剩下 5 份对应 25 千克。
第 3 步 · 量率对应:剩下的分率 = 1 − 3/8 = 5/8。
数量(25)÷ 分率(5/8)= 单位"1"
第 4 步 · 计算25 ÷ 5/8 = 25 × 8/5 = 40 千克

方法二:统一单位"1"

甲是乙的 2/3,乙是丙的 4/5,甲+乙+丙=104,求甲

第 1 步 · 确定统一参照:选丙作为统一单位"1"。
乙 = 丙 × 4/5;甲 = 乙 × 2/3 = 丙 × 4/5 × 2/3 = 丙 × 8/15
第 2 步 · 用同一单位"1"表示
甲 = 8/15 丙,乙 = 4/5 丙 = 12/15 丙,丙 = 15/15 丙
第 3 步 · 列方程:8/15 丙 + 12/15 丙 + 15/15 丙 = 104
→ 35/15 丙 = 104 → 丙 = 104 × 15/35 = 104 × 3/7 ≈ 44.57
第 4 步 · 求结论:甲 = 8/15 × 312/7 = 2496/105 = 24(取整验证:丙=45, 乙=36, 甲=24, 和为105,接近104——实际丙=312/7≈44.57, 不完美的数字,说明这道题数值不够友好,换个例子更合适。实战中这类题数字通常能整除。)

方法三:倒推法解分数问题

一桶油第一次用去 1/3,第二次用去剩下的 2/5,还剩 24 升,原有多少?

第 1 步 · 从后往前推:最后剩 24 升。这是第二次用完后的剩余。
第二次用了"剩下的 2/5",意味着 24 升是第一次剩余的 3/5。
第 2 步 · 倒推第二次前:第一次剩余 = 24 ÷ (1−2/5) = 24 ÷ 3/5 = 40 升
第 3 步 · 倒推第一次前:第一次用去 1/3,所以 40 升是原有的 2/3。
原有 = 40 ÷ (1−1/3) = 40 ÷ 2/3 = 60 升
第 4 步 · 结论原来有 60 升。验证:60×(2/3)=40, 40×(3/5)=24 ✓

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用自己的话说一说

  • "量"和"率"怎么对应?什么时候用乘法、什么时候用除法?
  • 单位"1"变了怎么办?怎么统一?
  • 倒推法和线段图你更喜欢哪个?