质因数分解

把合数拆成质数相乘 · 数论核心技能

🔢基本概念

质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数。如 2、3、5、7、11…

合数：除了 1 和它本身，还有其他因数。如 4、6、8、9、10…

质因数：一个合数的因数中，是质数的那个。如 12 = 2 × 2 × 3，其中 2 和 3 是质因数。

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

分解质因数 · 短除法得 12 = 2² × 3

🗺️本课知识地图

短除法

分解质因数

最大公约数

取公共质因数

最小公倍数

取所有质因数

核心公式速查

三个工具解决质因数问题

🔧 短除法

2 | 60

2 | 30

3 | 15

5

→ 60 = 2² × 3 × 5

从最小的质数 2 开始除，除不尽就换下一个质数，直到商为 1。

📐 最大公约数（GCD）

分解后取公共质因数的最低次幂相乘。
例：24=2³×3，36=2²×3² → GCD=2²×3=12

📏 最小公倍数（LCM）

分解后取所有质因数的最高次幂相乘。
例：24=2³×3，36=2²×3² → LCM=2³×3²=72

方法一：短除法分解质因数

把 84 分解成质因数相乘

第 1 步：用最小的质数 2 去除。84 ÷ 2 = 42 → 写成 2 × 42

第 2 步：42 还能被 2 整除。42 ÷ 2 = 21 → 写成 2 × 2 × 21

第 3 步：21 不能被 2 整除，换 3。21 ÷ 3 = 7 → 写成 2 × 2 × 3 × 7

第 4 步：7 是质数，不能再分解。→ 84 = 2² × 3 × 7

🔑 短除法口诀

从小到大试质数，除得尽就继续除，除不尽换下一质数，商变 1 就完成！

方法二：用质因数求最大公约数

求 36 和 48 的最大公约数

第 1 步 · 分解质因数
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3

第 2 步 · 找公共质因数：36 和 48 都有质因数 2 和 3

第 3 步 · 取最低次幂
2：36 有 2²，48 有 2⁴ → 取 2²
3：36 有 3²，48 有 3¹ → 取 3¹

第 4 步 · 相乘：GCD = 2² × 3 = 12

方法三：用质因数求最小公倍数

求 18 和 24 的最小公倍数

第 1 步 · 分解质因数
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3

第 2 步 · 取最高次幂
质因数 2：18 有 2¹，24 有 2³ → 取 2³
质因数 3：18 有 3²，24 有 3¹ → 取 3²

第 3 步 · 相乘：LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

验证：72 ÷ 18 = 4 ✓，72 ÷ 24 = 3 ✓

💡 GCD 和 LCM 的关系

A × B = GCD × LCM

18 × 24 = 432，6 × 72 = 432 ✓

动手练一练

5 道题，检验你的质因数功力

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用自己的话说一说

短除法分解质因数的步骤是什么？
最大公约数和最小公倍数怎么用质因数来求？
GCD × LCM = 两个数的乘积，这个公式对吗？验证一下 20 和 30。