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🔗 和差倍综合

和差、和倍、差倍，三类问题一网打尽

📖什么是和差倍？

和差倍问题是奥数最经典的题型。已知两个数的和/差/倍数关系中的两个条件，求这两个数。

比如：甲乙两数之和是 50，甲是乙的 4 倍，甲乙各是多少？这就是"和倍问题"。

️学习路线

速查

方法汇总

三大公式 + 线段图法 + 三种题型一览

3年级

和差问题

已知和与差，求两数

3年级

和倍问题

已知和与倍数，求两数

4年级

差倍问题

已知差与倍数，求两数

练习

变式练习

混合运用三种方法

📋 方法汇总 · 和差倍速查表

三大公式 + 线段图法 + 典型例题

📐三大核心公式

和差倍问题的三个万能公式，背熟就能解所有题。

和差问题

大数 = (和 + 差) ÷ 2
小数 = (和 − 差) ÷ 2

例：和=50，差=10 → 大数=(50+10)÷2=30，小数=(50−10)÷2=20

和倍问题

小数 = 和 ÷ (倍数 + 1)
大数 = 小数 × 倍数

例：和=50，甲是乙的4倍 → 乙=50÷(4+1)=10，甲=10×4=40

差倍问题

小数 = 差 ÷ (倍数 − 1)
大数 = 小数 × 倍数

例：差=30，甲是乙的4倍 → 乙=30÷(4−1)=10，甲=10×4=40

📏线段图法（万能工具）

画线段图是和差倍问题的"万能钥匙"，三种题型都能用。

和差线段图

画两条线段，长的比短的多"差"，两条加起来是"和"。
把多出的部分去掉，剩下两份相等 → 小数 = (和−差)÷2

和倍线段图

小数画 1 段，大数画 n 段，总共 n+1 段 = 和。
每段 = 和÷(n+1) → 小数，大数 = 小数×n

差倍线段图

小数画 1 段，大数画 n 段，大数比小数多 n−1 段 = 差。
每段 = 差÷(n−1) → 小数，大数 = 小数×n

解题口诀

和差倍，画线段；
一倍数，画一段；
多几倍，画几段；
找对应，列算式。

和差问题

已知两数之和与差，求两数

📝 题目：甲乙两数之和是 50，甲比乙大 10，甲乙各是多少？

💡思路

甲比乙大 10，说明甲 = 乙 + 10。如果把甲多出的 10 去掉，甲乙就相等了，总和变成 50−10=40，两份相等 → 每份 20。

画线段：乙画一段 ████，甲画一段 ████ 再加一小段 ██（多10）

去差：甲去掉多的 10，甲乙相等，总和 = 50 − 10 = 40

求小数：乙 = 40 ÷ 2 = 20

求大数：甲 = 20 + 10 = 30

验证：30 + 20 = 50 ✓，30 − 20 = 10 ✓

大数 = (和 + 差) ÷ 2 小数 = (和 − 差) 2

和差问题万能公式

🔑 和差问题口诀：和加差除以 2 得大数，和减差除以 2 得小数。画图去差变相等，两份一分就清楚。

️ 和倍问题

已知两数之和与倍数关系，求两数

题目：甲乙两数之和是 50，甲是乙的 4 倍，甲乙各是多少？

💡思路

甲是乙的 4 倍，把乙看作 1 份，甲就是 4 份，总共 5 份 = 50。每份 = 50÷5 = 10 → 乙=10，甲=40。

画线段：乙画 1 段 █，甲画 4 段 ████，总共 5 段

找份数：1 + 4 = 5 份，5 份 = 50

求每份：每份 = 50 5 = 10 → 乙 = 10

求大数：甲 = 10 × 4 = 40

验证：40 + 10 = 50 ✓，40 ÷ 10 = 4 ✓

小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 大数 = 小数 × 倍数

和倍问题万能公式

🔑 和倍问题口诀：一倍数画一段，多几倍画几段；总份数等于倍数加一，和除以份数得小数。

➖ 差倍问题

已知两数之差与倍数关系，求两数

📝 题目：甲比乙大 30，甲是乙的 4 倍，甲乙各是多少？

💡思路

甲是乙的 4 倍，甲比乙多 3 份，这 3 份 = 30。每份 = 30÷3 = 10 → 乙=10，甲=40。

画线段：乙画 1 段 █，甲画 4 段 ████，甲比乙多 3 段

找差份：4 − 1 = 3 份，3 份 = 30

求每份：每份 = 30 ÷ 3 = 10 → 乙 = 10

求大数：甲 = 10 × 4 = 40

验证：40 − 10 = 30 ✓，40 ÷ 10 = 4 ✓

小数 = 差 ÷ (倍数 − 1) 大数 = 小数 × 倍数

差倍问题万能公式

🔑 差倍问题口诀：大数减小数等于差，倍数减一得份数；差除以份数得小数，小数乘倍得大数。

🎯 变式练习

和差倍三种题型，看你能不能一眼识别

第 1 题 / 共 5 题

学习报告

/ 5

📝答题回顾

🗣️ 用自己的话说一说

和差问题的公式是什么？为什么要"和加差"和"和减差"？
和倍问题里，"倍数+1"是什么意思？为什么要加 1？
差倍问题和和倍问题有什么区别？线段图怎么画？
三种题型，你觉得哪种最容易搞混？为什么？

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// === S2: 和差问题 === let sdStep=0; function sdNext(){sdStep++;const btn=document.getElementById('sd-btn'); if(sdStep===1){document.getElementById('sd-s1').classList.add('vis');btn.textContent='第 2 步：去差 →';} else if(sdStep===2){document.getElementById('sd-s2').classList.add('vis');btn.textContent='第 3 步：求小数 →';} else if(sdStep===3){document.getElementById('sd-s3').classList.add('vis');btn.textContent='第 4 步：求大数 →';} else if(sdStep===4){document.getElementById('sd-s4').classList.add('vis');btn.textContent='第 5 步：验证 →';} else if(sdStep===5){document.getElementById('sd-s5').classList.add('vis');btn.textContent='✅ 和差问题完成！';btn.disabled=true;}} // === S3: 和倍问题 === let sbStep=0; function sbNext(){sbStep++;const btn=document.getElementById('sb-btn'); if(sbStep===1){document.getElementById('sb-s1').classList.add('vis');btn.textContent='第 2 步：找份数 →';} else if(sbStep===2){document.getElementById('sb-s2').classList.add('vis');btn.textContent='第 3 步：求每份 →';} else if(sbStep===3){document.getElementById('sb-s3').classList.add('vis');btn.textContent='第 4 步：求大数 →';} else if(sbStep===4){document.getElementById('sb-s4').classList.add('vis');btn.textContent='第 5 步：验证 →';} else if(sbStep===5){document.getElementById('sb-s5').classList.add('vis');btn.textContent='✅ 和倍问题完成！';btn.disabled=true;}} // === S4: 差倍问题 === let dbStep=0; function dbNext(){dbStep++;const btn=document.getElementById('db-btn'); if(dbStep===1){document.getElementById('db-s1').classList.add('vis');btn.textContent='第 2 步：找差份 →';} else if(dbStep===2){document.getElementById('db-s2').classList.add('vis');btn.textContent='第 3 步：求每份 →';} else if(dbStep===3){document.getElementById('db-s3').classList.add('vis');btn.textContent='第 4 步：求大数 →';} else if(dbStep===4){document.getElementById('db-s4').classList.add('vis');btn.textContent='第 5 步：验证 →';} else if(dbStep===5){document.getElementById('db-s5').classList.add('vis');btn.textContent='✅ 差倍问题完成！';btn.disabled=true;}} // === S5: Variants === const variants=[ {type:'和差问题',badge:'和差',color:'#EDE9FE', text:'甲乙两数之和是 80，甲比乙大 20，甲乙各是多少？', ans:50,hint:'大数=(80+20)÷2=50，小数=(80−20)÷2=30',exp:'甲=(80+20)÷2=50，乙=(80−20)÷2=30'}, {type:'和倍问题',badge:'和倍',color:'#E0F2FE', text:'甲乙两数之和是 72，甲是乙的 5 倍，甲是多少？', ans:60,hint:'乙=72÷(5+1)=12，甲=12×5=60',exp:'乙=72÷6=12，甲=12×5=60'}, {type:'差倍问题',badge:'差倍',color:'#DCFCE7', text:'甲比乙大 48，甲是乙的 4 倍，乙是多少？', ans:16,hint:'乙=48÷(4−1)=16',exp:'乙=48÷3=16，甲=16×4=64'}, {type:'和差问题',badge:'和差',color:'#FEF3C7', text:'两个数之和是 100，差是 20，较大的数是多少？', ans:60,hint:'大数=(100+20)÷2=60',exp:'大数=(100+20)÷2=60，小数=(100−20)÷2=40'}, {type:'和倍问题',badge:'综合',color:'#FFF7ED', text:'小明和小红共有 90 元，小明的钱是小红的 2 倍，小明有多少元？', ans:60,hint:'小红=90÷(2+1)=30，小明=30×2=60',exp:'小红=90÷3=30，小明=30×2=60'} ]; let vi=0,vs=0,vr=[]; function vpInit(){vi=0;vs=0;vr=[];vpRender()} function vpRender(){const v=variants[vi]; document.getElementById('vp-area').innerHTML=`

${v.badge}：${v.type}

${v.text}

答案：

${v.hint}

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${r.ok?'✅':''} ${v.type}：你的答案 ${r.ua}，正确 ${r.ca}

${v.exp}

`}); document.getElementById('fdet').innerHTML=d;} // === Reset === function resetAll(){sdStep=0;sbStep=0;dbStep=0; document.getElementById('sd-btn').disabled=false;document.getElementById('sd-btn').textContent='第 1 步：画线段图 →'; ['sd-s1','sd-s2','sd-s3','sd-s4','sd-s5'].forEach(id=>document.getElementById(id).classList.remove('vis')); document.getElementById('sb-btn').disabled=false;document.getElementById('sb-btn').textContent='第 1 步：画线段图 →'; ['sb-s1','sb-s2','sb-s3','sb-s4','sb-s5'].forEach(id=>document.getElementById(id).classList.remove('vis')); document.getElementById('db-btn').disabled=false;document.getElementById('db-btn').textContent='第 1 步：画线段图 →'; ['db-s1','db-s2','db-s3','db-s4','db-s5'].forEach(id=>document.getElementById(id).classList.remove('vis')); vi=0;vs=0;vr=[];go(0);}