几何进阶

等积变换 · 蝴蝶模型 · 割补法

📐三大核心技巧

等积变换：同底等高的三角形面积相等；平行线间的三角形面积不变。

蝴蝶模型：梯形两条对角线分割出的四个三角形，两翼面积相等。

割补法：把不规则图形切割、平移、旋转，变为规则图形。

🗺️ 本课知识地图

等积变换

同底等高面积不变

蝴蝶模型

梯形对角线四分

割补法

化不规则为规则

三大方法速查

记住思路比记住公式更重要

① 等积变换

两个平行线之间，底边相同、顶点在另一条线上的所有三角形面积相等。

② 蝴蝶模型（梯形）

梯形两条对角线把梯形分成四个三角形，左右两翼面积相等。

③ 割补法

核心思想：把不规则图形切一刀，移一移，变成规则图形（长方形、三角形…），面积不变。

方法一：等积变换

如图，ABCD 是平行四边形，E 是 BC 上任意一点。求阴影面积。

第 1 步 · 观察：阴影是一个三角形 ADE。底面 AD 与 BC 平行。E 在 BC 上。

第 2 步 · 等积变换：AD ∥ BC，所以 △ADE 的面积 = △ADB 的面积（同底 AD，等高）。

第 3 步 · 转换求面积：△ADB 刚好是平行四边形的一半！
→ 阴影面积 = 平行四边形面积 ÷ 2

💡 解题关键

看到平行线 + 三角形 → 马上想到：顶点能不能在平行线上滑动？滑动后面积不变，但计算变简单了！

方法二：蝴蝶模型

梯形 ABCD 中 AD∥BC，对角线交于 O。已知 △AOD=4，△BOC=9，求梯形面积。

第 1 步 · 标出已知：梯形对角线交于 O，上下两个三角形面积已知：S△AOD=4（上），S△BOC=9（下）。

第 2 步 · 蝴蝶模型关键性质：梯形中，左右两个三角形面积相等，且 S左² = S上 × S下。
→ S左 = √(4×9) = √36 = 6

第 3 步 · 求总面积：梯形 = 4 + 9 + 6 + 6 = 25

🦋 蝴蝶模型公式

S左 = S右 = √(S上 × S下)

总面积 = S上 + S下 + 2√(S上×S下)

方法三：割补法

求下图"L 形"的面积：长 10cm 宽 8cm 的大长方形，切掉 4cm×3cm 的角。

第 1 步 · 思路一：补全法：先算大长方形 = 10×8 = 80cm²，再减掉缺角 = 4×3 = 12cm²。
→ 80 − 12 = 68 cm²

第 2 步 · 思路二：切割法：切成两个长方形：竖条 8×(10−4)=48，横条 4×(8−3)=20。
→ 48 + 20 = 68 cm²

第 3 步 · 对比：两种方法结果一致。补全法更通用，切割法对复杂图形更直观。

🎯 割补法口诀

能补则补（不规则→规则，多退少补）
能切则切（大块切小块，分而治之）
能移则移（平移旋转，化零为整）

动手练一练

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用自己的话说一说

等积变换的核心条件是什么？（提示：平行线）
蝴蝶模型适用于什么图形？两翼面积有什么关系？
看到不规则图形，第一反应应该是什么？