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🌳🟦 植树与方阵进阶

从"种几棵树"到"方阵多少人",掌握间隔的奥数魔法

📖为什么叫"进阶"?

基础植树只考"两端都栽"。进阶要会:间距变化、双边植树、环形植树,以及更烧脑的方阵和"锯木、爬楼、敲钟"这类间隔问题。

核心口诀:段数 = 点数 − 1(直线);环形时段数 = 点数

🗺️学习路线

植树
植树进阶
间距变化 · 单边/双边 · 环形
方阵
方阵问题
实心方阵 · 空心方阵 · 最外层
间隔
锯木爬楼敲钟
段数 = 次数,楼层差
练习
变式练习
5 道综合题检验掌握
报告
学习报告
看看你拿了几颗星

🌳 植树进阶

三种情况一张表

两端都栽:棵数 = 段数 + 1 = 总长 ÷ 间距 + 1
一端栽 / 环形:棵数 = 段数 = 总长 ÷ 间距(环形"首尾相连",段数 = 棵数)
两端都不栽:棵数 = 段数 − 1
双边植树:两边都栽 = 单边棵数 × 2(注意两端都栽时两端也要 ×2)

📝例题

一条 100 米的小路,每隔 5 米种一棵(两端都栽),一共多少棵?

段数 = 100 ÷ 5 = 20 段 → 棵数 = 20 + 1 = 21 棵

易错点:很多人忘加 1,直接写 20。记住"端点比间隔多 1"。

🟦 方阵问题

实心方阵

总数:每边 n 人 → 总数 = n × n = n²
最外层人数:4 条边,但 4 个角重复 → 4n − 4
相邻两层差 8:每往里一层,每边少 2,最外层少 8 人

📝空心方阵

空心方阵总数 = 外边² − 内边²(把中间空的部分"挖掉")。

外边 10、内边 6 的空心方阵:10² − 6² = 100 − 36 = 64 人

⏱️ 锯木 · 爬楼 · 敲钟

统一本质:段数 = 次数

锯木:锯成 5 段,只需锯 4 次(段数 − 1 = 次数)。每次 2 分钟 → 4 × 2 = 8 分钟
爬楼:从 1 楼到 4 楼,走了 3 层楼梯(楼层差 = 目标 − 起点)
敲钟:6 点敲 6 下,中间 5 个间隔。若间隔 2 秒 → 5 × 2 = 10 秒(不是 6×2)
段数 − 1 = 动作次数
植树、锯木、爬楼、敲钟,本质是同一道题

✏️ 变式练习

第 1 题 / 共 5 题

🏆 学习报告

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📝答题回顾

🗣️ 用自己的话说一说

  • 环形植树为什么"棵数 = 段数"?和直线两端都栽差在哪?
  • 实心方阵最外层为什么是 4n − 4,而不是 4n?
  • 锯木头"锯成 5 段锯 4 次",生活中还有哪些同款问题?