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🔄 多次相遇

两人往返行走，第 n 次相遇时合走 (2n−1) 个全程

🗺️知识地图

核心规律

第1次相遇：合走 1 个全程
第2次相遇：合走 3 个全程
第n次相遇：合走 (2n−1) 个全程

为什么是奇数？

第1次：面对面走1个全程
之后每次：各走到头再折返，
合起来多走2个全程

关键推论

速度比不变 → 每人走的路程比也不变。第2次相遇时，每人走的是第1次的3倍。

易错点

第2次相遇点的位置要画图判断！可能在A侧也可能在B侧，不能想当然。

🔑 记住公式：第 n 次相遇，两人合走 (2n−1) 个全程。速度比 = 路程比，这个比例从头到尾不变。

🎬 方法一：画图追踪法

画出两人的行走路线，标出相遇点

📝 题目：甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行。第一次相遇点距 A 地 60 千米。相遇后继续前行，到达对方出发点后立即返回，第二次相遇点距 B 地 40 千米。求 A、B 两地距离。

🗺️路线追踪

第1次相遇：两人合走1个全程
A
B
1
甲走60
甲走了 60 千米，设全程为 S，则乙走了 S−60
第2次相遇：两人合走3个全程
甲总共走了 60×3 = 180 千米（速度比不变，路程也是3倍）
A
B
2
距B 40千米
甲的路线：A→B→折返→相遇点，走了 S + (S−40) = 2S−40
列等式：
甲第2次相遇时总路程 = 180
2S − 40 = 180
2S = 220
S = 110（千米）
✅ 答：A、B 两地相距 110 千米。
验算：第1次甲走60，乙走50，速度比6:5。
第2次合走330，甲走180，乙走150。甲：A→B(110)→折返70，距B=110−70=40 ✓
🔑 画图法关键：① 第1次相遇确定速度比 → ② 第2次合走3个全程 → ③ 每人走第1次的3倍 → ④ 结合"距某地多远"列等式。

📐 方法二：比例法

利用速度比 = 路程比，快速求解

📝 题目：甲乙两人从 A、B 两地同时相向出发，速度比为 3:2。第一次相遇后继续走，到对方出发点后返回。第二次相遇点距 A 地多远？（AB 距离 100 千米）

📐比例推算

第1次相遇：合走1个全程 = 100千米
速度比 3:2 → 甲走 100×3/5 = 60，乙走 100×2/5 = 40
相遇点距A = 60千米
第2次相遇：合走3个全程 = 300千米
甲走 300×3/5 = 180 千米
乙走 300×2/5 = 120 千米
判断甲的位置：
甲从A出发走了180千米：A→B(100) → 折返80千米
甲在B往A方向80千米处 → 距A = 100 − 80 = 20 千米
✅ 答：第二次相遇点距 A 地 20 千米。
验算：乙走120：B→A(100)→折返20，距A=20。甲乙都在距A 20千米处 ✓
🔑 比例法三步：① 用速度比算第1次各走多少 → ② 第n次各走第1次的(2n−1)倍 → ③ 用"走了几个全程+折返多少"定位相遇点。

⚖️ 方法三：方程法

设全程为x，利用两次相遇条件列方程

📝 题目：甲乙两人从 A、B 同时相向出发，第一次相遇距 A 地 40 千米，第二次相遇距 A 地 20 千米。求 AB 距离。

⚖️列方程求解

🔑 方程法思路：设全程S → 第1次相遇确定速度比 → 第2次甲走3倍路程 → 用"距A多远"的两种表达列等式。

🔀 变式挑战

5 道多次相遇变式题

第 1 题 / 共 5 题

📊 学习报告

📈本次成绩

🧠知识总结

① 第n次相遇，合走 (2n−1) 个全程
② 速度比 = 路程比（始终不变）
③ 第n次每人走的 = 第1次 × (2n−1)
④ 定位相遇点：看走了几个全程+折返多少
⑤ 画图是最可靠的验证方法

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